均质土中端承壁板桩竖向振动特性 [PDF全文]
(东南大学混凝土及预应力混凝土结构教育部重点实验室,南京 211189)

为研究均质土中竖向简谐荷载作用下端承矩形壁板桩的振动特性,基于改进的Vlasov地基模型提出了壁板桩动力响应半解析计算方法.首先,将壁板桩-土体视为连续体,提出了由轴向位移函数和水平衰减函数构成的位移模型.然后,利用哈密顿原理求得桩-土体系的控制方程和动侧阻力表达式.最后,通过迭代算法计算动力响应.参数分析表明:相比圆桩,截面面积相同的壁板桩能显著提高桩顶静刚度和动刚度; 当壁板桩横截面长宽比增大时,桩顶静刚度和动刚度均增大,且前者增幅较小而后者增幅较大; 静态荷载下壁板桩轴力不受截面长宽比影响,动态荷载下则对其比较敏感; 侧阻刚度在截断频率之前不受长宽比影响,但在截断频率之后,侧阻刚度随截面长宽比的增大而减小,且不受桩长细比的影响.

Vertical vibration characteristics of end-bearing barrette in homogeneous viscoelastic soil
Cao Geng,Gong Weiming,Zhu Mingxing,Dai Guoliang,Wang Bochen
(Key Laboratory of Concrete and Prestressed Concrete Structures of Ministry of Education, Southeast University, Nanjing 211189, China)(School of Civil Engineering, Southeast University, Nanjing 211189, China)

To study the vibration characteristics of an end-bearing rectangular barrette subjected to a time-harmonic vertical force in homogeneous soil, a semi-analytic calculation method for the dynamic response of the barrette was proposed based on the modified Vlasov foundation model. First, the barrette-soil was regarded as a continuum, and the displacement model composed of the displacement function along the barrette axis and the attenuation functions along the horizontal direction was proposed. Then, the governing equations of the barrette-soil system and the expressions of the vertical shaft resistance of the barrette were established according to Hamilton's principle. Finally, the dynamic responses were calculated by the iterative algorithm. Parametric analysis results show that barrettes have the larger barrette head stiffness for the static and dynamic loads than the circular piles with the same cross-sectional area. As the aspect ratio of the barrette cross section increases, both the static and the dynamic barrette head stiffness increase, and the increment of the static barrette head stiffness is less while that of the dynamic stiffness is larger. The axial force along the barrette axis for the static loads is independent on the aspect ratio of the cross section while the dynamic axial force is sensitive. The dynamic stiffness of the shaft resistance is not affected by the aspect ratio of the cross section below the cut-off frequency. However, beyond the cut-off frequency, it decreases with the increase of the aspect ratio and is insensitive to the variations in the slenderness ratio of the barrette.

引言

壁板桩是指采用地下连续墙施工方式而形成的混凝土灌注桩,形式上与单片地下连续墙相同,但在工程中作为桩基使用.与圆桩相比,相同截面积的矩形壁板桩具有更大的比表面积,能通过桩身摩阻力承受更大的竖向荷载[1],另外,可控制其截面尺寸以满足某个方向抗弯刚度的设计要求,提高承受较大水平荷载和弯矩的能力.壁板桩已在国内外的高层建筑[2-3]、高架立交桥[4]、地铁车站和输电线塔基础工程[5]中得到大量应用.

国内外学者对壁板桩承载性能进行了大量研究.李桂花等[6]对单片地下连续墙进行了竖向载荷试验,研究了荷载传递机理; Fellenius等[7]采用O-cell方法对菲律宾马尼拉的28 m长壁板桩进行了竖向载荷试验; Ng等[8]对香港九龙湾的39.7 m长壁板桩进行了竖向承载特性原位测试; 唐孟雄[9]将单片地下连续墙槽段沿深度方向划分单元,利用Mindlin积分方程及位移协调条件,得出了位移及沿深度方向分布摩阻力和轴力; 雷国辉等[10]将壁板桩沿深度和横截面方向划分单元,分析了壁板桩截面长宽比对竖向承载特性的影响; Basu等[11]提出了多层土中矩形截面桩的沉降计算方法; Seo等[12]进一步比较了圆桩和矩形桩的荷载-位移特性.然而,这些工作主要研究的是静荷载下的特性,壁板桩不可避免要承受上部结构传至的动荷载,鲜见动荷载作用下的壁板桩承载特性研究.

针对圆形截面桩基竖向动力响应的研究方法众多.基于Winkler地基模型的解析或数值方法[13-14]应用最为广泛,能模拟土体非线性特征,但忽略了土层之间的耦合振动.基于有限元FE、边界元BE或者混合有限元-边界元FE-BE数值解[15-16]可考虑桩-土耦合振动,但需要对反射黏弹性边界模拟,且计算成本高.严格三维解析[17-20]或半解析[21-22]方法在方程建立和求解过程中考虑材料和辐射阻尼,数学求解相当复杂.Vlasov模型克服了Winkler地基模型忽略应力扩散的缺点[23].Vallabhan[24-26]提出了解耦梁位移函数和土体变形衰减函数的方法,建立了改进的Vlasov地基模型,解决了衰减因子确定的难题.基于此,Sun[27]和Basu等[28-29]研究了水平受荷桩,Basu等[11]、Seo等[12]、Lee等[30]和Salgado等[31]分析了单桩沉降.文献[32]基于改进的Vlasov地基模型,采用变分原理提出了均质土中圆桩竖向动态响应的半解析解,为分析不具有圆桩轴对称性的矩形壁板桩提供了思路.

本文提出了一种壁板桩-土体系的连续体位移模型,通过哈密顿变分原理获得体系的控制方程和边界条件、桩身轴力以及桩侧动侧阻力,并采用迭代算法对方程进行求解.将所得解与圆形截面桩进行对比,分析了截面长宽比对桩顶动刚度、桩身轴力和桩身侧阻刚度的影响.

1 壁板桩-土体系计算模型

各向同性均质土黏弹性中端承壁板桩如图1所示.桩顶作用竖向荷载F(t)=F0eiωt,其中,F0为荷载幅值,t为时间,ω为荷载圆频率.桩的长度为L,弹性模量为Ep,截面尺寸为Bx×By,截面面积为Ap,密度为ρp.桩周土的弹性模量为Es,泊松比为υs,密度为ρs,黏滞阻尼系数为ξsso表示壁板桩周所有土域.土体的拉梅常数为λs =Esυs/{(1+υs)(1-2υs)},μs =Es/{2(1+υs)},复数拉梅常数λ*s(1+2iξs)和 μ*s(1+2iξs)[22,33].

图1 均质土中轴向受荷端承矩形壁板桩

图1 均质土中轴向受荷端承矩形壁板桩

忽略土体水平向位移,假定桩土完全接触,无相对滑移.竖向位移gz表示为

gz(x,y,z,t)=w(z,t)u(x)v(y)(1)

式中,w(z,t)=w(z)eiωt为桩沿着z轴的竖向位移; u(x)和 v(y)分别为沿着x轴和y轴的无量纲水平土位移衰减函数.为确保桩土完全接触,衰减函数应满足:当-Bx/2≤x≤Bx/2时, u(x)=1, 当-By/2≤y≤By/2时, v(y)=1.桩-土相互作用对无穷远处的土体无影响,衰减函数应满足:当x=±∞时,u(x)=0,当y=±∞时, v(y)=0.

2 方程建立与求解2.1 桩-土体系控制方程

依据弹性理论,非零应变分量用位移表示为

zzxzyz}T={-(∂gz)/(∂z),-1/2(∂gz)/(∂x),-1/2(∂gz)/(∂y)}T(2)

式中,εzz为z方向正应变; εxz和εyz分别为在以x和y轴为法线的微面上,作用方向指向z轴的剪应力产生的剪应变.

对应的应力分量为

zzxzyz}T=

{-(λ*+2μ*)(∂gz)/(∂z),-μ*(∂gz)/(∂x),-μ*(∂gz)/(∂y)}T(3)

式中,σzz、σxz、σyz为非零应变εzz、εxz、εyz对应的应力.

将壁板桩视为轴向受压构件,桩-土体系因形变产生应变势能,即

V=∫L01/2EpAp((∂w)/(∂z))2dz+Ωso1/2[σzzεzz+

2(σxzεxzyzεyz)]dxdydz(4a)

式中,等式右侧第1项为壁板桩因压缩产生的应变能; 等式右侧第2项为桩周土体的应变能.

式(1)假定土体水平位移为零,从而导致壁板桩-土体系刚度略大.为消除这一影响,令(λ*+2μ*)= ημ*[21-22,34],其中η=2/(1-υs).则用位移分量表示的总势能V为

V=∫L01/2EpAp((∂w)/(∂z))2dz+Ωso1/2[ημ*((∂w)/(∂z))2u2v2+

μ*w2((du)/(dx))2v2*w2u2((dv)/(dy))2]dxdydz(4b)

简谐荷载F(t)作用下壁板桩-土体系的动能T包括桩和桩周围土体的动能,可表示为

T=∫L01/2ρpAp((∂w)/(∂t))2dz+Ωso1/2ρs((∂gz)/(∂t))2dxdydz(5)

外力功W为

W=Fw|z=0(6)

根据哈密顿变分原理[35]可得

t2t1δ(T-V)dt+∫t2t1δWdt=0(7)

式中,δ(·)为变分算子.

2.1.1 桩位移控制方程

收集含δw参数项,由于δw在0≤z<L区间为任意值, 且δw≠0,则EpAp(∂2w)/(∂z2)-kw+ts(∂2w)/(∂z2)-κρs(∂2w)/(∂t2)-ρpAp(∂2w)/(∂t2)=0(8)

式中,EpAp(∂2w)/(∂z2)为由桩压缩产生的轴向抗力; k为竖向剪切Winkler弹簧刚度,且k=Dxyμ*((du)/(dx))2v2dxdy+Dxyμ*((dv)/(dy))2u2dxdy,其中Dxy为xy平面上壁板桩所在区域以外的所有区域; kw为因土体抵抗竖向剪切而产生的抗力,即竖向剪切Winkler弹簧反力; ts和κ为积分常数,且ts=Dxyημ*u2v2dxdy,κ=Dxyu2v2dxdy; ts(∂2w)/(∂z2)为Winkler弹簧之间的相互作用力; κρs(∂2w)/(∂t2)和ρpAp(∂2w)/(∂t2)分别为壁板桩周围土和桩的惯性力.

将w(z,t)=w(z)eiωt代入式(8),可得

(EpAp+ts)(d2w)/(dz2)-[k-(ρpApsκ)ω2]w=0(9)

边界条件为

(EpAp+ts)(dw)/(dz)|z=0=-F0(10a)

w|z=L=0(10b)

根据式(9)和(10),可得桩位移函数为

w(z)=(-F0(sinhmz-tanhmLcoshmz))/((EpAp+ts)m)(11)

式中,

m=((k-(ρpApsκ)ω2)/(EpAp+ts))1/2(12)

2.1.2 土体控制方程

收集含δu参数项,得到土体位移衰减函数u(x)的控制方程为

(d2u)/(dx2)-α2u=0(13)

式中,

α=((-ρsω2Dyzw2v2dydz+ημ*Dyz((dw)/(dz))2v2dydz+μ*Dyzw2((dv)/(dy))2dydz)/(μ*Dyzw2v2dydz))1/2(14)

式中,Dyz为-∞≤y≤+∞和0≤z≤L构成的积分区域.

由衰减函数u(x)的边界条件可得其解为

u(x)={eα(x+Bx/2) -∞<x≤-Bx/2

e-α(x-Bx/2) Bx/2≤x<+∞(15)

同理,土体位移衰减函数v(y)的控制方程为

(d2v)/(dy2)-β2v=0(16)

式中,

β=((-ρsω2Dxzw2u2dxdz+ημ*Dxz((dw)/(dz))2u2dxdz+μ*Dxzw2((du)/(dx))2dxdz)/(μ*Dxzw2u2dxdz))1/2(17)

式中,Dxz为-∞≤x≤+∞和0≤z≤L构成的积分区域.

由衰减函数v(y)的边界条件可得其解为

v(y)={eβ(y+By/2) -∞<y≤-By/2

e-β(y-By/2) By/2≤y<+∞(18)

2.2 桩侧动阻力物理模型

在壁板桩顶下深度z处取厚度为dz的土薄层单元,如图2所示.图中,τ(z, t)为深度z处的壁板桩动侧阻力.

图2 土体薄层单元

图2 土体薄层单元

土薄层单元的势能为

Vlayer=1/2Dxyzzεzz+2(σxzεxzyzεyz)]dxdydz(19)

土体薄层单元动能为

Tlayer=Dxy1/2ρs((∂gz)/(∂t))2dxdydz(20)

作用在薄层单元上的外力功为

Wlayer=Dxy(∂σzz)/(∂z)gzdxdydz+τ(z,t)wdz(21)

对薄层单元体运用哈密顿原理可得

t2t1δ{Dxy1/2ρs((∂gz)/(∂t))2-

1/2Dxyzzεzz+2(σxzεxzyzεyz)]}dxdydzdt+

t2t1δ[Dxy(∂σz)/(∂z)gzdxdydz+τ(z,t)wdz]dt=0(22)

对式(22)中部分项进行分部积分可得

Dxyρs(∂(wuv))/(∂t)dxdydzδ(wuv)〖JB<2|〗t2t1-

t2t1Dxyρs(∂2w)/(∂2t)uvδ(wuv)dxdydzdt-

t2t1{Dxy[ημ*(∂w)/(∂z)δ((∂w)/(∂z))u2v2+

ημ*((∂w)/(∂z))2uδuv2+ημ*((∂w)/(∂z))2u2vδv+

μ*wδw((du)/(dx))2v2*w2(du)/(dx)δ((du)/(dx))v2+

μ*w2((du)/(dx))2vδv+μ*wδwu2((dv)/(dy))2+

μ*w2uδu((dv)/(dy))2*w2u2(dv)/(dy)δ((dv)/(dy))]dxdydz}dt+

t2t1[Dxyημ*δ((∂2w)/(∂z2)wu2v2)dxdydz+τ(z,t)δwdz]dt=0(23)

对任意w要满足式(23),则所有δw系数项和必为零,即

t2t1{-Dxyρsu2v2dxdy(∂2w)/(∂2t)-

Dxy*((du)/(dx))2v2*u2((dv)/(dy))2]wdxdy+

Dxyημ*u2v2(∂2w)/(∂z2)dxdy+τ(z,t)}δwdzdt=0(24)

由此可得壁板桩动侧阻力为

τ(z,t)=kw-ts(∂2w)/(∂z2)+κρs(∂2w)/(∂t2)(25)

由式(25)可知,壁板桩动侧阻力由3部分组成:第1部分与壁板桩的竖向位移w成正比,比例系数为k,即竖向剪切Winkler弹簧刚度,对比式(22)~(24)可以看出这部分由土体中的竖向剪应力σxz和σyz产生; 第2部分与桩竖向位移w的二阶导数成比例,这部分由土体中的压应力σzz产生,这是因为改进的Vlasov地基模型认为土是连续体,而实质上是剪切Winkler弹簧之间的竖向相互作用; 第3部分由壁板桩外围土体竖向振动产生的惯性力提供.

在壁板桩控制方程式(8)中,等式左侧第2~4项之和为壁板桩动侧阻力.因此,壁板桩的控制方程本质上为桩身抗力、动侧阻力和桩身惯性力的动态平衡方程.

2.3 模型求解步骤

无量纲土体位移衰减函数式与壁板桩位移函数式是耦合的,迭代求解步骤如下:

①设置初始参数α和β,例如α=β=1.0;

②通过已知的α和β,由式(15)和(18)确定土体位移衰减函数u(x)和v(y);

③计算参数ts,k,κ;

④由式(11)计算壁板桩位移函数w(z);

⑤由式(14)和(17)重新计算α和β;

⑥比较α和β新值和旧值的差值;

⑦重复步骤①~⑥直到误差小于设定值,进而得到精确的α和β.

3 结果与分析3.1 桩顶动刚度

为方便分析,定义桩顶动刚度为

Kt=(F0)/(w0μsre)(26)

式中,w0为稳态时的桩顶位移; re=(BxBy/π)1/2为矩形壁板桩的等效半径.

定义无量纲频率α0

α0=(ωre)/(Vs)(27)

式中,Vs=(μss)1/2为土体剪切波速.

基于本文算法和式(26)可以求得桩顶动刚度.图3对比了相等横截面积和长细比的壁板桩与文献[32]圆桩的桩顶动刚度计算结果.基本参数与文献[32]一致:长细比L/re=20,60; 桩土模量比Ep/Es=1 000,100; 截面长宽比Bx/By=1,2,3,4,5; Ep=30 GPa,ρp=2 500 kg/m3ps=1.25,υs=0.25,ξs=0.05.对比分析可知,壁板桩的桩顶动刚度大于圆桩,这是因为截面面积相同时,方桩较圆桩具有更大的周长,将获得更大的侧阻力而具有较大的刚度.当长细比L/re一定时,桩土模量比Ep/Es越小,长宽比Bx/By对壁板桩动刚度Kt的影响越显著; 当桩土模量比Ep/Es一定时,长细比L/re越大,不同长宽比的壁板桩动刚度Kt差异越明显.壁板桩长宽比越大,其与圆桩的桩顶动刚度差异越大.方桩(Bx/By=1)桩顶动刚度随频率的变化规律与圆桩基本一致,这是因为方桩的截面性质更接近于轴对称性的圆桩.

Mylonakis[21]对Novak[13]的平面应变模型进行了推广,建立了大直径端承桩的三维近似解析解.图4对比了相等横截面积和长细比的方桩与文献[21]圆桩的归一化桩顶动刚度Kt/Kst的计算结果,其中Kst为桩顶静刚度.基本参数为:长细比L/re=20,14,10; 桩土模量比Ep/Es=1 000,100; Ep=30 GPa,ρp=2 500 kg/m3ps=1.25,υs=0.4,ξs=0.05.由图可见,本文方法计算的方桩结果与文献[21]结果基本符合,验证了本文方法的

图3 壁板桩与圆桩桩顶动刚度对比

图3 壁板桩与圆桩桩顶动刚度对比

准确可行性.

为了便于分析横截面积相同、长宽比不同的壁板桩的尺寸效应,令Ktc、Kts和Ktr分别表示根据式(26)计算得到的圆桩、方桩和矩形桩的桩顶动刚度.图5给出了方桩与文献[32]中圆桩的桩顶动刚度比Kts/Ktc在不同模量比Ep/Es和长细比L/re工况下的等值线图.由图5(a)可知,静荷载(α0=0)作用下,当桩土模量比Ep/Es相同时,长细

图4 桩顶归一化动刚度Kt/Kst对比

图4 桩顶归一化动刚度Kt/Kst对比

图5 方桩与圆桩Kts/Ktc等值线图

图5 方桩与圆桩Kts/Ktc等值线图

比L/re越大,Kts/Ktc越大; 当长细比L/re相同时,桩土模量比Ep/Es越大,Kts/Ktc越小.由此说明,由于相同横截面积的方桩比圆桩周长大,随着土模量Es和桩长L的增大,Kts/Ktc也增大.从图5(b)可看出,动荷载(α0=1)作用下,由于桩土动力相互作用,方桩与圆桩Kts/Ktc随着桩土模量比Ep/Es和长细比L/re的变化不再单调增加而是出现波动.

图6给出了截面长宽比Bx/By=5的壁板桩与方桩Ktr/Kts等值线图.由图6(a)可见,对于横截面面积相同的壁板桩,长宽比Bx/By增大4倍,桩顶静刚度最大增长约6%,且绝大部分工况下增量小于3.5%.由此表明,静荷载(α0=0)作用下,当壁板桩横截面长宽比增大时,虽然桩顶静刚度也增大,但是增幅较小.由图6(b)可知,动荷载(α0=1)作用下,矩形桩较方桩的动刚度增长已经超过20%.因此,壁板桩动荷载作用下的响应与静荷载作用下不同,当壁板桩横截面长宽比增大时,桩顶动刚度和静刚度均增大,并且前者增长的幅度更大.

图6 矩形桩与方桩Ktr/Kts等值线图

图6 矩形桩与方桩Ktr/Kts等值线图

3.2 桩身轴力

沿深度方向桩身轴力为

N(z)=-(EpAp+ts)(dw)/(dz)(28)

式中,N(z)为壁板桩桩身轴力.

图7给出了截面积相等、长宽比不同时均质土中矩形壁板桩桩身轴力分布.计算参数如下:L/re=30; Ep/Es=1 000,400,100; Bx/By =1,3,5; Ep=30 GPa; ρp=2 500 kg/m3; ρps=1.25; υs=0.25; ξs=0.05.由图7(a)可知,具有相同截面积的壁板桩,截面长宽比对桩顶竖向静载作用下桩身轴力影响很小,表明壁板桩的竖向轴力与横截面形状无关.由图7(b)可知,桩顶竖向动载作用下,壁板桩截面长宽比显著影响桩身轴力.

图7 截面长宽比对壁板桩轴力的影响

图7 截面长宽比对壁板桩轴力的影响

3.3 桩侧阻刚度

将w(z,t)=w(z)eiωt代入式(25),并令

nt=-tsm2(29)

nM=-κρsω2(30)

n=k+nt+nM(31)

式中,nt为竖向剪切Winkler弹簧相互作用产生的侧阻刚度; nM为壁板桩周围土振动引起的侧阻刚度; n为总侧阻刚度.

则式(25)可重写为

τ(z,t)=(k+nt+nM)w(32)

刚度k、nt、nM、n随着频率α0和截面长宽比Bx/By的变化如图8所示,桩土模量比Ep/Es=100,其他计算参数同3.2节.由图8(a)可知,当α0≤0.55时,随着Bx/By增大,剪切弹簧刚度k也增大; 由于桩土动力相互作用,当α0>0.55时,k随着Bx/By增大而减小.如图8(b)所示,当频率α0不变、截面长宽比Bx/By增大时,侧阻刚度nt随之增大; 这是因为Bx/By增大会导致壁板桩周长增加,桩土接触面增大,土对桩的约束增强.由8(c)

图8 截面长宽比对壁板桩桩身侧阻刚度的影响

图8 截面长宽比对壁板桩桩身侧阻刚度的影响

可见,侧阻刚度nM对Bx/By变化不敏感; 这是因为nM由桩周外围土体振动产生,桩的横截面尺寸与桩周外围无限土体相比很小,Bx/By的变化不足以对桩周外围土体振动产生较大影响.如图8(d)所示,当α0小于截断频率时,随Bx/By的增加,总侧阻刚度n略微增加; 当α0大于截断频率时,受桩土动力相互作用的影响,总侧阻刚度n随着截面长宽比Bx/By增加而减小.对比分析表明:竖向剪切Winkler弹簧刚度k在总侧阻刚度n中占比最大; 侧阻刚度nt对n影响明显; 当α0超过截断频率后nM对n的影响不明显.

不同长细比L/re情况下,随频率α0变化的总侧阻刚度n如图9所示.长细比为L/re=10,20,30,50,80,截面长宽比为Bx/By=3,其他计算参数同3.2节.图9表明,静荷载(α0=0)作用下总侧阻刚度n随L/re增大而减小.但在截断频率之后,n不受长细比L/re的影响,这是因为竖向振动时桩身外围产生的波倾向于以水平方式传播,无需考虑桩的竖向尺寸[21-22,36].

图9 壁板桩长细比对桩身侧阻刚度n的影响

图9 壁板桩长细比对桩身侧阻刚度n的影响

4 结论

1)基于改进的Vlasov地基模型和哈密顿原理,提出了不具有圆桩轴对称性的矩形壁板桩在竖向简谐荷载作用下的动力响应计算方法.本文方法能够有效分析矩形壁板桩动力响应的尺寸效应.

2)与具有相同横截面积的圆桩相比,矩形壁板桩可提高桩顶静刚度和动刚度.当壁板桩横截面长宽比增大时,桩顶静刚度增大,但增幅较小; 动荷载作用下,桩顶动刚度随着横截面长宽比增大而增大,且增大的幅度较大.

3)静荷载作用下,壁板桩桩身轴力对截面长宽比不敏感,动荷载下桩身轴力则受截面长宽比影响显著.

4)壁板桩侧阻刚度由竖向剪切Winkler弹簧刚度、Winkler弹簧相互作用产生的刚度以及桩周外围土振动产生的侧阻刚度3个部分组成.Winkler弹簧刚度由土体中剪应力σxz和σyz产生,是桩侧阻刚度的主要部分; Winkler弹簧之间相互作用产生的侧阻刚度由土体中竖向压应力σzz提供,其不应被忽略.总侧阻刚度在截断频率之后不受桩长细比的影响.

参考文献