边坡约束条件下的三维动态视距计算方法 [PDF全文]
(1华南理工大学亚热带建筑科学国家重点实验室, 广州 510641)

为实现已建道路线形的拟合,准确计算公路在右侧边坡约束下的三维动态视距,以道路弧长、水平方位角和竖直角为设计参数,建立基于样条曲线的公路三维线形计算模型,采用Gauss-Legendre求积公式实现中心线坐标的数值求解.基于路边界线特征点对路面和边坡进行三角构网,考虑边坡坡度和驾驶人视线高度,根据驾驶人视点、行车轨迹线与边界切平面的几何关系,提出了基于空间线形的三维动态视距计算模型,并推导出路段最小视距值求解方程.对某二级公路右转弯路段进行三维动态视距计算,并与平面横净距视距计算方法进行对比分析.研究发现,在凹型竖曲线路段,三维动态视距计算值大于横净距视距计算值; 在凸型竖曲线路段,采用横净距进行视距检验存在安全风险,竖曲线半径安全阈值1/S1会随着驾驶人视线高度的降低而增大,平曲线半径安全阈值1/S2会随着竖曲线半径的增大而增大.

Calculation method for 3D dynamic sight distance under the control of slope constraint
Yang Yonghong1,2,Xia Yuanbo1,Wang Jiecong1,Huang Lan1
(1State Key Laboratory of Subtropical Building Science, South China University of Technology, Guangzhou 510641, China)(2Key Laboratory of Highway Engineering of Ministry of Education, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410114, China)

In order to achieve the fitting of the established road alignment and accurately calculate the three-dimensional(3D)dynamic sight distance of the highway under the constraint of the right side slope, the road length, horizontal azimuth and vertical angle were adopted as the design parameters. A 3D calculation model was established for highway alignment based on the spline curve. The Gauss-Legendre quadrature formula was used to achieve the highway centerline coordination. The pavement and slope triangulation network were setup based on the characteristic points of roadside lines, considering the geometric relationship among the height of the driver's sightline, the driving trajectory and the tangent plane of the boundary. The 3D sight distance calculation model was proposed based on the spatial alignment, and the solving equation for the minimum value of sight distance was deduced. By the case of a two grade highway with a section of right turn, the 3D dynamic sight distance was calculated and compared with the calculation method for lateral clear distance. The results show that the 3D dynamic sight distance values are greater than that of the lateral clear distance in the section of the sag vertical curve. However, there are safety risks for adopting the lateral clear distance auditing in the section of the crest vertical curve.The safety threshold of the crest vertical curve radius 1/S1 decreases with the decrease of the driver's sightline height, while the safety threshold of horizontal curve radius 1/S2 increases with the increase of the vertical curve radius.

引言

行车视距是进行公路设计和行驶质量评价的重要指标之一.由于山区公路存在大量高填深挖路基,采用极限平纵设计指标,在边坡约束条件下易造成行车视距不良情况,极易诱发交通事故.

目前道路行车视距的检验方法主要为二维视距检验,通过对横净距的计算,检验道路上正常弯道处中央分隔带护栏、路侧绿化以及隧道半径等静态条件设置的合理性.然而,由于道路驾驶环境极为复杂,车辆的实际运行速度随着道路条件、驾驶技术及车辆性能的变化而不断变化[1-2],因此分离的平、纵公路线形设计和静态的二维设计视距无法准确反映真实驾驶环境下人对行车视距的需求.

为实现准确的三维视距计算,相关学者开始研究真三维道路线形.Kuhn等[3]提出采用固定、交互及耦合线形要素进行三维线形设计,并利用可视化工具检验三维组合线形; 文献[4-5]采用样条曲线构建公路三维线形的几何模型; 葛婷等[6]将Frenet框架下的空间曲率、挠率指标引入三维道路线形设计中.

关于三维视距的研究,文献[7-8]通过对道路环境相关参数进行优化,建立三维有限元模型,根据路表驾驶人视线切线搜寻障碍物位置计算行车视距,并分析了三维曲率与空间视距的关系; Kim等[9]根据物理中薄板样条弯曲能量最小点位计算不同平纵线形组合条件下的三维可用视距.Moreno等[10]通过建立道路的有限元模型,分析不同线形组合下的三维停车视距,提出满足最大视距值的优化线形组合.Mavromatis等[11]结合三维道路模型和车辆运动学,分析凸曲线波峰路段三维视距和AASHTO最小视距值差异性.刘向阳等[12]基于道路虚拟仿真系统提出了以视线椎体为核心的空间视距计算模型; 廖军洪[13]根据驾驶人视点和视距验算点的连线与视线中心线间的夹角与驾驶员在该方向上最大动态视角的关系建立三维动态视距计算模型; 杨帆等[14]利用计算机仿真技术对转弯曲线路段进行可达视距检查.考虑驾驶人的动态视觉效果,马羊[15]对比分析了道路线形与三维视距净空区的关系; 陈雨人等[16]通过建立基于支持向量回归的视距计算模型对高速公路隧道段行车视距进行检验; 刘浪等[17]建立了基于驾驶人视觉特性的交叉口停车视距计算模型; 薛晓姣[18]基于BIM可视化环境建立视线分析和视域分析模型.

道路的三维线形研究主要集中在平纵线形的优化和空间线形的描述,对构建道路三维线形的具体数学表达式以及相关的工程实践并未取得实质性的进展.三维视距的主要分析方法有二维视距计算优化模型、图形仿真和数学解析法.视距优化计算模型对道路线形的空间特性考虑不够; 图形仿真法需要建立真实的三维道路环境,工作量大、成本高、周期长,不能实现对道路行车视距的快速检测,不利于推广使用.本研究将利用驾驶人视点、行车轨迹线、边界切平面几何关系,采用解析法计算道路的三维动态视距,并推导三维视距最小值求解方程,以满足视距计算和检验的实用性.

1 道路三维视距计算流程

根据建立的三维道路线形数学计算模型,对道路平、纵组合线形进行拟合,通过几何变换得出驾驶人视线轨迹曲线模型,建立路面和边界(边坡条件)约束条件,根据道路任意桩号路面切平面和边坡切平面构建三维视域.本文研究对象为小客车,根据《公路路线设计规范》(JTG D20—2017)相关规定,采用的视高和物高分别为1.2和0.1 m.

三维视距具体计算流程如下:① 确定待评价路段,提取平、纵线形指标,采用三维线形数学模型拟合道路中心线,并对特征点坐标进行误差检验; ② 基于路边线构建路面和边坡三角网; ③ 在路面、边坡切平面组成的视域范围内,根据视线和切平面的几何关系确定计算视距值,绘制三维动态视距图,确定最不利视距点.

2 道路三维线形的数学计算模型2.1 道路中心线三维坐标方程

为改善平、纵分离设计的不足,参照Frenet标架下空间曲线连续性的定义,同时考虑道路线形平纵曲率及其组合,根据微分几何学,提出以弧长(道路桩号)为参数,以水平和纵向曲率作为线形控制指标,在几何连续性的基础上构建出道路三维线形的数学计算模型.此模型建立了传统的平纵线形指标与新的空间曲线参数指标的相互关系,从而实现在三维空间内对现行的平纵组合线形设计质量和安全性进行评价,同时保证了道路线形在三维空间上的连续性.

曲率是对切线沿曲线变化速度快慢的度量,刻画了曲线的弯曲程度.根据曲率性质和样条曲线特征,结合道路平、纵曲线曲率变化规律,定义一种类曲率参数ρ1和ρ2,分别表示空间曲线随弧长在平面和纵向的弯曲程度,表达式如下:

(dα)/(dl)=ρ1=al+b a≥0,b≥0

(dβ)/(dl)=ρ2=cl+d c≥0,d≥0}(1)

式中,α为空间曲线切线的水平方位角; β为切线的竖直角; l为曲线弧长; 参数a、b、c、d可参考表1确定.

表1 参数转化对照表

表1 参数转化对照表

计算出道路曲线段[S0,S1]任意桩号S的水平角α和竖直角β为

α=α0+(al2)/2+bl

β=β0+(cl2)/2+dl}(2)

式中,α0、β0分别为曲线起点切线的水平方位角和竖直角.

图1为道路三维线形及坐标计算说明示意图,可计算出道路曲线段[S0,S1]任意桩号S的坐标(x,y,z)为

x=x0+∫l00sinβcosαdl

y=y0+∫l00sinβsinαdl

z=z0+∫l00cosβdl}(3)

式中,l0为曲线段[S0,S]的弧长; x0、y0、z0为曲线单元起点三维坐标.

图1 道路三维线形及坐标计算示意图

图1 道路三维线形及坐标计算示意图

文献[19]发现相应路段曲率差、挠率差与公路事故率正相关,空间曲率、挠率计算公式为

κ2=β'2+α'2sin2β

τ=((α″β'+α'β″)sinβ+2α'β'2cosβ+α'3sin2βcosβ)/(κ2)}(4)

式中,α'、α″、β'、β″分别为水平方位角和竖直角的一阶、二阶导数; κ为空间曲率; τ为空间挠率.由式(4)可知,保证α、β一阶连续即可保证道路线形的空间曲率连续,而空间挠率连续则需要α、β二阶连续.

2.2 道路中心线坐标数值实现

由于式(3)所确定的道路中心线坐标方程含复杂的积分函数,为利用编程实现坐标数值简单计算,采用Gauss-Legendre求积公式,推导道路中心线任意坐标的数值解.

为实现道路桩号S的坐标计算,在道路线元桩号区间[S0,S1],S∈[S0,S1],令

f(x)=sin(β0+(cx2)/2+dx)cos(α0+(ax2)/2+bx)

g(x)=sin(β0+(cy2)/2+dy)cos(α0+(ay2)/2+by)

l(z)=cos(β0+(cz2)/2+dz)}(5)

先将区间[S0,S]映射成[-1,1],即作如下变量替换:

x=y=z=(S-S0)/2t+(S+S0)/2 t∈(-1,1)(6)

然后采用Gauss-Legendre求积公式计算得到任意一点桩号S的坐标(xi,yi,zi)的数值解为

xi=x0+∫1-1f((S-S0)/2t+(S+S0)/2)dt=

x0+b∑nk=1Akf(xk)

yi=y0+∫1-1g((S-S0)/2t+(S+S0)/2)dt=

y0+b∑nk=1Akg(yk)

zi=z0+∫1-1l((S-S0)/2t+(S+S0)/2)dt=

z0+b∑nk=1Akl(zk)}(7)

式中,xk、Ak的取值参考Gauss-Legendre求积公式节点-系数表,如表2所示.对式(7)进行截断误差分析,Gauss-Legendre公式余项为

δ=(f 2n+1(η))/(2n+3)(22n+3((n+1)!)4)/(2n+3)η∈(-1,1)(8)

本研究n分别取2、3、4、5,代入式(8)求得截断误差.

表2 Gauss-Legendre求积公式节点-系数表

表2 Gauss-Legendre求积公式节点-系数表

3 路面和边坡三角网模型

目前应用广泛的道路建模方式是采用不规则三角网(TIN).TIN算法采用C++语言对原始点云进行滤波处理,保留原地形信息,然后在外包矩阵范围内将滤波处理后的点云构建成不规则三角网.但当项目规模较大时,路面点云数量较多,通过TIN算法实现道路建模所需的时间和资源必然陡增,因此该算法在实际工程运用中有一定局限性.

本研究根据实际的工程需求,考虑计算效率和视距计算的简便性,提出建立基于道路边线的三角网道路建模方式.通过对已建立的道路中心线坐标方程进行平移、偏移和旋转等一系列变换,建立行车轨迹线、视线点轨迹线以及道路边界线等,考虑边坡的坡度以及高度,选取适当的特征点坐标,构建具有一定边界条件约束的三维道路数学计算模型.研究中坐标计算采用笛卡尔直角坐标系,在坡度为定值的挖方路段进行视距计算.

对道路中线进行偏移可确定道路的边界线和行车轨迹线,沿道路横坡方向m0、曲线切线方向n和边坡坡度方向m1单位向量分别为

m0={sinα,-cosα,i0}T

n={sinβcosα,sinβsinα,cosβ}T

m1={sinα,-cosα,i1}T}(9)

式中,i0为路拱横坡度; i1为边坡坡度(边界约束条件).

根据式(3),结合道路超高、加宽等因素,推导出与道路中线平行且与道路中线距离为di的最右侧车道中心线方程为

xi=x0+∫S1S0sinβcosαdl+disinα

yi=y0+∫S1S0sinβsinαdl-dicosα

zi=z0+∫S1S0cosβdl+hi}(10)

式中,di、hi为桩号S断面上行车轨迹线或坡底距离道路中线的横向距离和相对高差.

当道路横断面方向坡度变化处较多,如存在与行车道坡度值不一致的硬路肩、土路肩、边沟和碎落台坡度,则路边界线与道路中线的相对高差h1和h2需相应变化,如图2所示.

图2 横断面坡度变化示意图

图2 横断面坡度变化示意图

对于圆曲线路段的加宽和超高,为了缓和曲线加宽可采用线性过渡,超高可采用绕道路中线过渡.则式(10)中di、hi取值为

di=(d0)/2+(li)/(ls)dw

hi=ih(li)/(ls)di}(11)

式中,d0为直线路段路面宽度; li为过渡段任意点与起点距离; ls为超高加宽过渡段长度; ih、dw分别为圆曲线超高、加宽值.

对于构建好的道路边线、中线以及定值边坡等高线,选取边界线特征点,采用等距或等数量在特征点内插值,插值过程保证点数相同,然后按照比例构建路面和边坡三角网,如图3所示.

图3 基于路边线特征点的路面和边坡三角网

图3 基于路边线特征点的路面和边坡三角网

4 道路三维动态视距计算模型4.1 建立三维动态视距特征方程

二维空间中视距计算模型忽略了道路三维曲线的空间本质特征和边坡约束条件.本研究在三维空间对道路进行三角网建模的基础上,结合驾驶人视线的几何特点,根据点、线和面的几何位置关系,采用解析法计算驾驶人的有效视距.

基于路边界线特征点建立的道路三角网和边坡约束条件,确定视距求解所需的路面切平面和边坡切平面组成的视线区域.其中任意桩号S处的坡面切平面K为

A(X-X1)+B(Y-Y1)+C(Z-Z1)=0(12)

水平横坡切平面H为

D(X-X0)+E(Y-Y0)+F(Z-Z0)=0(13)

p=m1×n={A

B

C}={-i1sinβsinα-cosβcosα

i1sinβcosα-sinαcosβ

sinβ}

q=m0×n={D

E

F}={-i0sinβsinα-cosβcosα

i0sinβcosα-sinαcosβ

sinβ}}(14)

式中,(X1,Y1,Z1)和(X0,Y0,Z0)分别为道路边线和行车轨迹线坐标; p、q分别为坡面、路面横坡切平面的法向量.

根据式(10)已建立的三维道路曲线模型,在桩号S(Xi,Yi,Zi)处形成以边坡切平面K和道路切平面H为边界的视线区域(视域),如图4所示.

图4 道路视线区域示意图

图4 道路视线区域示意图

根据边坡切平面K分别与行车视点轨迹线(行车轨迹线+视高)和目标物体轨迹线(行车轨迹线+目标物高)之间的关系,得出视域特征主方程为

A(XS0-Xbp)+B(YS0-Ybp)+

C(ZS0-Zbp+Hs)=0

A(XS1-Xbp)+B(YS1-Ybp)+

C(ZS1-Zbp+Hw)=0}(15)

式中,Hs为驾驶人视线高度; Hw为目标障碍物高度; 点(Xbp,Ybp,Zbp)为道路边线计算点的坐标.由式(15)可确定视域桩号区域为[S0,S1].

根据道路切平面形成的视域(如原二维线形为凸曲线)和视高Hs、目标物高Hw,得出视域特征次方程为

D(XS'0-Xxc)+E(YS'0-Yxc)+

F(ZS'0-Zxc+HS)=0

D(XS'1-Xxc)+E(YS'1-Yxc)+

F(ZS'1-Zxc+Hw)=0}(16)

式中,点(Xxc,Yxc,Zxc)为行车轨迹线坐标.由式(16)所确定的视域桩号区域为[S'0,S'1].

参照图5计算流程,根据式(15)、(16)所确定的视域特征方程,在满足精度要求下,按一定步长对沿线道路进行视距计算,可绘制三维动态视距图.

图5 三维动态视距计算流程图

图5 三维动态视距计算流程图

为方便对已有道路进行三维动态视距分析,本文开发了三维动态视距计算程序.通过输入基础数据和相应计算参数,自动拟合出三维道路线形,并计算检验路段的三维动态视距.

4.2 基于Newton-Raphson迭代法的最小视距值求解

对式(14)、(15)分析可得,在边坡约束条件下,行车视距最小值位于圆曲线和竖曲线组合路段(a=0,c=0).考虑三维边坡视距计算的工程应用,本研究在视域特征方程的基础上(a=0,c=0)建立如下最小视距值求解方程:

f(S)=d/(b2-d2)[cosβ0cosbscos(β0+dS)-cos2β0]+

b/(b2-d2)cosβ0sinbssin(β0+dS)-

(i1d)/(b2-d2)sinβ0sinbscos(β0+dS)+dmi1sinβ0+

(i1b)/(b2-d2)[sinβ0cosbscsin(β0+dS)-sin2β0]-

(sinβ0)/d[sin(β0+dS)-sinβ0+dhm+dH](17)

式中,〖JB<1|〗b〖JB>1|〗=1/R1,〖JB<1|〗d〖JB>1|〗=1/R2,R1和R2分别为平曲线半径和竖曲线半径; dm和hm分别为边界线与行车轨迹线的横向距离和相对高差; H分别取视线高Hs和目标物高Hw; β0为视线与边坡相切处道路竖向角(β0对于三维视距计算值影响较小,为简化计算可取β0=90°).

令式(17)中d、hm、H均取值为0,β0=90°,得到二维视距中横净距计算公式:

hd=Rs(1-cos(90lsd)/(πRs))(18)

式中,hd为横净距; lsd为停车视距; Rs为视点轨迹线半径.

由于f(S)=0是复杂的非线性方程,无法直接得到精确解,本文借助Newton-Raphson迭代公式求解:

Sn+1=Sn-(f(Sn))/(f'(Sn))(19)

设定初始视距值S0=lsd/2,通过式(19)可计算出当n=1,2,3,…时Sn的值.当ΔS≤δ(δ为给定的误差控制项)时,可得到所需的最小三维视距值.

5 空间动态视距计算实例分析5.1 动态视距仿真计算

某项目二级公路设计时速为60 km/h,视距检验路段桩号范围为K14+952.793~K15+489.793,全长537 m,标准横断面宽8.5 m,平面线形为基本对称形(圆曲线半径R=62 m,长度L=141.126 m,回旋线参数A=70.427),在桩号K15+211.793~K15+271.793存在半径为1 000 m的竖曲线,挖方边坡坡度为1:1.为简化计算,本实例在缓和曲线全长进行超高加宽过渡,圆曲线采用的加宽值为1 m,超高值为4%.

根据表1,可确定三维数据模型的计算参数,如表3所示.根据图5所示的视距计算流程,输入表3中曲线计算参数,借助自主研发的三维动态视距计算程序,能够自动拟合出三维道路中心线及左右道路边界线,如图6所示.

图6 三维道路中心线及左右边界线形拟合图

图6 三维道路中心线及左右边界线形拟合图

为验证式(3)对已建道路线形拟合的准确性,提取图6中心线上各特征点的坐标及方位角,与传统平纵设计的线形参数进行对比.表4是拟合前后曲线特征点参数的对比.分析可知,原曲线和拟合曲线各特征点参数存在细微差别.但由于纵坡值一般小于0.08,对三维动态视距计算值影响较小.

根据图5,绘制出本案例计算得到的道路检验路段的三维动态视距图,如图7所示.可知,该检测

表3 三维曲线计算参数

表3 三维曲线计算参数

表4 道路中心线曲线特征点参数对比

表4 道路中心线曲线特征点参数对比

路段在视点进入圆曲线时视距最小值为47.9 m,同时根据式(17)迭代计算得到最小视距值也为47.9 m,验证了式(17)的准确性.

图7 三维动态视距图

图7 三维动态视距图

5.2 最小视距值对比分析

由式(17)分析可知,相较于横净距二维视距计算方法,边坡约束条件下的三维视距值不仅与平曲线半径有关,竖曲线曲率、纵坡坡度、边坡坡度以及视高的变化均能使三维视距值产生偏差.为与二维主要线形设计指标进行对比,本研究进一步绘制了竖曲线曲率d与三维视距值关系图及平曲线曲率b与三维视距值关系图,分别见图8图9.

图8 竖曲线曲率与三维视距值关系图

图8 竖曲线曲率与三维视距值关系图

图9 平曲线曲率与三维视距值关系图

图9 平曲线曲率与三维视距值关系图

通过图8对比分析可知,当平曲线曲率为定值,三维视距值随着竖曲线曲率的增大而减小,在竖曲线曲率、视高为0时,三维视距值即为横净距视距值.在凹形竖曲线路段(横轴负值段),三维动态视距计算值大于平面横净距视距计算值,视距计算差值随着边坡的坡度变缓而增加; 在凸形竖曲线路段(横轴正值段),竖曲线半径存在安全阈值1/S1.当竖曲线半径小于1/S1时,三维视距计算值小于横净距视距计算值,竖曲线半径安全阈值1/S1随着驾驶人视线高度的降低而增大.因此,小客车比例较高路段采用横净距视距检验会存在较大视距安全隐患.

图9中驾驶人视线高度采用1.2 m,横轴负值表示右转弯路段.分析可知:当竖曲线半径为定值时,三维视距计算值随着平曲线半径的增大而增大; 平曲线半径存在安全阈值1/S2,当平曲线半径大于1/S2时,三维视距计算值小于横净距视距计算值,1/S2会随着竖曲线半径的增大而增大.

6 结论

1)基于传统平纵线形设计指标要素,提出了一种基于样条曲线的三维道路中心线拟合以及行车轨迹线、道路边界线等数学计算方法,采用Gauss-Legendre求积公式实现中心线坐标的数值求解.并提出线形设计过程中保证水平方位角和竖直角的二阶连续性即可实现空间曲率和挠率连续.

2)综合考虑三维道路线形、道路横向超高、加宽以及边坡约束条件,通过构建任意桩号的视线区域,建立了基于空间线形的三维动态视距计算模型,开发了三维动态视距计算程序,快速实现路段动态视距计算.考虑视距计算和检验的实用性,在视域特征方程基础上提出三维视距最小值求解方程,通过迭代法计算出路段最小三维视距值,并分析发现横净距计算公式为视距最小值求解方程的特殊情况.

3)通过横净距视距计算对比分析,三维视距值随着竖曲线曲率增大而减小.在凹型竖曲线路段,三维动态视距计算值大于平面横净距视距计算值,且视距计算差值随着边坡坡度变缓而增加.在凸型竖曲线路段,竖曲线半径存在安全阈值1/S1,1/S1随着驾驶人视线高度的降低而增大,因此小客车通行比例高的路段采用横净距视距计算会存在较大安全隐患; 平曲线半径存在安全阈值1/S2,其值会随着竖曲线半径的增大而增大.

参考文献